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温故知新：番外編 - 電卓評価用の積分を解いてみた

プログラム電卓温故知新
　- 搭載プログラミング言語に注目して、プログラム電卓の変遷を考える -

2021/07/03

番外編 - 電卓評価用の積分を解いてみた

プログラム電卓温故知新の記事、プログラム電卓やスタンダード関数電卓の評価記事では、計算能力を調べるために積分を利用している。

そこで、これらの積分を紙とペンで実際に解いて正しい解を計算してみる。他にも解き方はあると思う。いずれにせよ電卓の計算結果が正しいかどうかの確認になる。また実際に計算してみると積分の性質が少しは解る。

使っているのは、下記の積分；

1.	電卓で時間のかかる積分
2.	物理で良く使うガウス積分の類型
3.	定義域ギリギリでCORDICアルゴリズムを使う積分
4.	電卓では苦手と思われる周期関数の積分


1.

左辺の積分を I とおき、さらに２つの積分に展開する。

それぞれを F、G とおくと、I = F + G となるので、F と G をそれぞれ別に求める。

=====

先ず、F の被積分関数を f(x) とする。

これをよく見てみると、f(x) は奇関数である。以下の計算からも f(x) が奇関数だと示せる。

従って、奇関数 f(x) を -2 から 2 まで積分すると、-2 から 0 の積分と0 から 2 までの積分が互いに打ち消し合うので、

=====

次に、G を求める。

変数変換を行うために、以下の直角三角形の各辺の長さの関係(ピタゴラスの定理)を利用する。

この各辺の関係を使って、x から θ に変数変換する。

、

これらを変形すると以下の関係が得られる。

x ：－2 → 2
θ ：－π/2 → π/2

これらを使うと、以下の不定積分が得られる。

ここで、上記の変数変換の式

を変形すると、以下が得られる ( -π/2 < θ < π/2 )。

(sin^-1 は arcsin と同じ)

と

を用いて、以下が得られる。

ここで得られた不定積分を使って、G を求める。

=====

I = F + G に F = 0 と G = π を代入する。


2.

電卓の10桁の精度では、e^-200 は０だから、この積分は１となる。

ちなみに、積分区間を 0 から無限大に変えると、結果は正しく１になる。


3.

cos(ln x) が、オイラーの公式で展開したときの実部になるような複素数を考える。

ところで、左辺は以下のように変形できる。

これを使って cos(ln x) を積分すると、

ところで、xⁱ の積分を計算すると、

これの実部が求める答えになる。

fx-CP400 を除く電卓では積分区間を [0, 1] とすると計算結果が 0.4999999999 となり 1/2 (=0.5) にならない。しかし積分区間を [-10¹⁰, 1] にすると、計算結果 1/2 が得られる。ln 0 の内部演算において、CORDICアルゴリズムを適用する際に -∞ (無限小) によるエラーを回避しようとして誤差が発生していると思われる。実装されている CORDIC アルゴリズムの限界が垣間見える。

CCORDICアルゴリズムについては、以下を参照；
⇒ 関数電卓のしくみ (CORDICアルゴリズム)