e-Gadget - プログラム関数電卓　温故知新：番外編 - 電卓評価用の複素数を解いてみた

温故知新：番外編 - 電卓評価用の複素数を解いてみた

プログラム電卓温故知新
　- 搭載プログラミング言語に注目して、プログラム電卓の変遷を考える -

2021/08/22
追記 2021/09/01
追記 2021/09/05
図を追加 2021/09/07

番外編 - 電卓評価用の複素数を解いてみた

プログラム電卓温故知新の記事、プログラム電卓やスタンダード関数電卓の評価記事では、計算能力を調べるために以下の計算を利用している。これは５つの複素数の値になるので、紙とペンで実際に計算してみる。

複数の複素数の値になる計算：

の本来の５つの値

先ず、計算結果を示す。

極座標形式	べき乗根形式	10桁の数値形式

※ 複素数値は "±" を用いて1つの式で2つの値を示しているので、合計5つの値になる

2021/08/22 時点で、これまでに販売されたカシオのスタンダード関数電卓、プログラム関数電卓、グラフ関数電卓、CASグラフ関数電卓の全てのモデルは、これらの５つの値を正しく出力しない。

電卓のモデルに応じて出力が異なる；

▍Casio の各モデル

▶ 虚数に未対応のモデル
　● FX-502P, FX-602P, FX-603P, fx-4000P, fx-7000P,
　● CFX-9850G / 9850GA / 9850GB / 9850GC PLUS
　虚数単位 i の入力方法がない。32^(3/5) = 8 となるが、(-32)^(3/5) はエラーになる。
　 ※ 計算不能

▶ 虚数 i の入力可能だが、虚数計算が不完全なモデル
　● fx-991W, fx-290, fx-991MS, fx-4800P
　 i ² = -1 となるが、√(-1) はエラーになる。
　 ((-32)³)^1/5 = -8, ((-32)^1/5)³ = -8 となるが、(-32)^3/5 はエラーになる。
　 ※ 実数根のみを出力、複素数根は出力しない

▶ Real / Complex モードの切替ができるが、複素素計算が不完全なモデル
　● fx-991ES / 993ES / 995ES, fx-JP500/ 700 / 900, fx-375ESA, fx-115ES,
　● fx-991ES 2nd edition, fx-115ES 2nd edition
　 e^-iπ = -1 とはならずにエラーになる
　どちらのモードでも、(-32)^3/5 = -8 となる。複素数値は出力できない。
　 ※ 実数根のみを出力、複素数根は出力しない

▶ Real / a+bi / r∠θ の３つのモード切替ができるが、複素数計算が不完全なモデル (1)
　● fx-98600G
　 (-32)^3/5 は、
　 Real モードで -8
　 a+bi モードで -2.472135955+7.60845213i
　 r∠θ モード (r:半径、θ: 偏角の極座標形式) で 8∠1.884955592　これは、8∠3π/5 の近似値
　 ※ 実数根と偏角 3π/5 に対応する複素数根のみ１つだけを出力、全ての５個の値は出力できない

▶ a+bi / r∠θ のどちらかを常に選択、但し複素数計算が誤りになるモデル
　 ● fx-5800P
　 (-32)^3/5 は、
　 a+bi モードで -8
　 r∠θ モードで 8∠π と誤った根を出力
　 ※ 実数根を複素数根を１つだけ出力するが、複素数根の計算は誤り

▶ Real / a+bi / r∠θ の３つのモード切替ができるが、複素数計算が不完全なモデル (2)
　● fx-9860GII / GIII, fx-9750GIII, fx-CG10 / CG20 / CG50
　 Real モードで -8
　 a+bi モードで -2.472135955+7.60845213i
　 r∠θ モードで８∠3π/5 、[F-D] キーを押すと 8∠1.884955592 に出力が変わる
　 ※ 実数根と偏角 3π/5 に対応する複素数根のみ１つだけを出力、全ての５個の値は出力できない

▶ Real / Complex - arg / - conjg / - re / im /
　 - cExpand / - compToPol / - compToTrig / - compToRect のモードがあるが、
　複素数計算が不完全なモデル
　● fx-CP400
　 Real モードで -8
　 Complex-arg で π (計算違い、π/5 か 3π/5 が正解)
　 Complex-conjg で -2(√5-1) - 2i e^{(1/2)(in(√5+5)+in(2))}
　 Complex-re で -2(√5-1)
　 Complex-im で 2√[2(√5+5)]
　 Complex-cExpand で -2(√5-1) + 2i√[2(√5+5)]
　 Complex-compToPol で 8･e³^πi/5
　 Complex-compToTrig で 8･[cos(3π/5) + i sin(3π/5)]
　 Complex-compToRect で 8･(-1)^3/5
　 ※ 実数根と偏角 3π/5 に対応する複素数根のみ1つだけを出力、全ての5個の値は出力できない。

▍HP Prime G2

▶ Non CAS
　 -8
▶ CAS
　 8･[(-1/4)･(√5-1)] + (i/4)･√(2(√5+5))
　 ※ 偏角 3π/5 の複素数根
※ hangyodon1123様による情報 (twitter)

▍Numworks N0110 omega

▶ -2√5 + 2 + 2√2 + 2√2･√(√5+5)i = -2.472136 + 7.608452i
▶ |z| = |2√2･√(√5+5)i - 2√5+2|
▶ arg(z) = arg (2√2･√(√5+5)i - 2√5+2)
▶ im(z) = im(2√2･√(√5+5)i -2√5+2)
※ hangyodon1123様による情報 (twitter)

国内外のいずれのモデルでも、現時点では偏角 π/5 に対応する値を出力しない。理由は不明。
複素数計算については、CASモデルを含めて正しい計算を行える電卓は、見当たらない。

さて本題に戻り、実際に紙とペンで計算してみる。

▋極座標形式の値を計算する